FINALITES....finalement quand...???

IV MOYENS METHODES ET ESPRIT DE L'ENSEIGNEMENT

  A- CONTENUS

   il est évident que les méthodes et moyens qu'utilisent les mathématiciens peuvent devenir les finalités de l'enseignement. comme tout outil, les outils mathématiques servent eux-mêmes à fabriquer de nouveaux outils. Nous les retrouverons donc
dans l'enseignement à la fois parmi les finalités et parmi les moyens.
Nous indiquons les plus fondamentaux en adoptant une classification arbitraire et déjà dépassée mais provisoirement commode.
..ceci n'est pas un programme mais des grands centres d'intérêt ouvrant des horizons sans pour autant les refermer ..!

1) Les grandes structures:
  a) Structures d'ordres:
      toute organisation. toute hiérarchisation nécessitent une conscience claire de ces structures et il est impensable qu'actuellement de de telles notions ne figurent pas dans les programmes des sections non mathématiques en particulier.

  b) Structures algébriques:
      l'algèbre linéaire,outil fondamental, ne doit plus seulement apparaître au travers d'un modèle à la fois trop complexe et trop simple comme le plan euclidien,mais doit revêtir les formes les plus variées afin de montrer son efficacité dans des domaines autres que l'espace usuel à trois dimensions.

  c) Structures topologiques:
       l'espace usuel ou des situations "discrètes" peuvent se prêter a des premières ébauches de modèles
- point n'est besoin d'attendre des connaissances poussées en analyse :
cette dernière ne s'en modélisera que mieux après cette préparation.


2) Points de vue particuliers
a) Le calcul dans les algèbres de Boole doit être aussi familier à
l'homme du XXIe siècle que la table de multiplication à celui du XIXe.
b) statistiques et probabilités ont déjà été introduites dans les
programmes;mais là encore, la construction du modèle, sa relativité, ont beaucoup plus d'importance que son utilisation inconsciente.
c) Les "logiques" et grammaires formelles sont vues non dans le
détail mais seulement pour souligner l'importance de leur conception et
des résultats qu'elles permettent d'atteindre.
d) Par opposition à l'aspect c), la recherche opérationnelle,
présentant un aspect beaucoup plus "terre à terre" mais se prêtant
peut-être mieux à l'idée de modélisation, rejoindra l'un des aspects
importants de l'enseignement de la technologie.
e) L'analyse et le calcul numérique occupant une place prépon-
dérante en tant que modèle fondamental à un premier niveau.
f) L'espace euclidien perdant son importance au profit de l'analyse
et de l'algèbre mais conservant son intérêt sur un plan pédagogique à
cause de son modèle figuratif (lignes et figures).

Bien qu'énumérés dans une même liste, ces outils ne sont pas
nécessairement sur un même plan d'égalité. Leur regroupement pourrait faire l'objet d'options fondamentales, certains d'entre eux apparaissant dans la formation générale commune.

B) PROGRAMMES
1) Que ces contenus soient groupés sous une forme ou une autre,
ils n'en restent pas moins des outils, des moyens de parvenir à des
objectifs beaucoup plus larges que ceux qui consistent à savoir se servir
de ces outils.
 Il est extrêmement dangereux de laisser croire que le
"programme" est l'objectif fondamental de l'enseignement, car c'est figer l'enseignement.
Les programmes, au sens usuel de ce mot,doivent apparaître comme un moyen parmi d'autres.
2) Une idée communément admise et responsable de nombreux
méfaits -entre autres des orientations définitives et malencontreuses
d'élèves - consiste à croire que l'enseignement des mathématiques suit
nécessairement une voie linéaire. Cette croyance résulte de plusieurs
confusions :

- On confond l'évolution chronologique des découvertes
c'est-à-dire des connaissances, avec l'organisation extra-temporelle de ces connaissances (organisation qui varie d'ailleurs avec l'époque) ;

- On confond cette organisation avec une description linéaire de
cette organisation :
- On confond, parce que l'enseignement se déroule dans le temps:
l'acquisition chronologique des connaissances et la prise de
conscience de leur organisation (ce point est important : sortir
d'un labyrinthe parce qu'on connaît un algorithme ne signifie
pas pour autant connaitre la structure de ce labyrinthe. C'est la
diversification des algorithmes et des modèles qui permet de
parvenir à cette connaissance).

Un programme linéaire comporte plus d'inconvénients que
d'avantages:
- avantages sur le plan de la  simplicité de réalisation et de contrôle du système d'enseignement;
  -inconvénients sur plan de la longueur de temps nécessaire pour parvenir aux dernières connaissances, lassitude engendrée par le trop grand nombre d'étapes, inadaptation aux rythmes et voies propres à chaque individu, entre autres.

   Ceci joint au fait que certains:
*admettent difficilement qu'il puisse exister divers chemins
logiques, les uns plus courts que d'autres;
 *sous-entendent que celui qu'ils connaissent ne peut plus être raccourci;
  *n'imaginent pas qu'une autre présentation du même chemin le met à la portée de plus jeunes..

Tout ceci explique la difficulté d'élaboration des "programmes"



3 )en fait c'est le concept même de "programme" qui doit être remis en cause. Peu importe le mot: ce qui est essentiel à chaque niveau est
* de rappeller les objectifs généraux de l'enseignement, puis à partir de ceux-ci de préciser les objectifs particuliers à ce niveau
(en veillant à la non-contradiction des uns et des autres!
* de donner des moyens de pan'enir à ces objectifs
* de permettre aux maîtres de créer d'autres moyens éventuellement plus efficaces;
 Parmi ces moyens, figurent évidemment les contenus ,au même titre que les méthodes et attitudes pédagogiques. Ces dernières ayant autant d'importance que les contenus. Ceci exige une grande liberté d'action et avant tout un climat de confiance mutuelle autant entre les
responsables de l'Education Nationale et les maîtres , qu'entre les maîtres et leurs élèves.

C )METHODES

1) Motivations
Nul ne peut faire un travail intelligent s'il ne s'intéresse à son
travail. Le mot "intérêt" ne doit pas nous faire confondre deux type
de motivations : les unes faisant intervenir des facteurs extérieurs à
l'individu, les autres étant purement internes.

- Parmi les motivations externes figurent les "contraintes formelles" : sanctions sociales sous toutes leurs formes dans un sens ou
dans l'autre - diplômes, récompenses, honneurs, punitions, ce sont les
pires maux de l'enseignement car ils dénaturent totalement l'individu.
C'est cependant la motivation hélas la plus répandue.

- Une autre motivation externe est infiniment plus importante
bien que négligée dans l'enseignement général : ce sont les "contraintes vitales" ou "problèmes pratiques". La résolution des problèmes que pose l'existence quotidienne (à notre époque ! ) est une source d'intérêt. Les mathématiques servent à quelque chose. Il est bon de s'en rendre compte, et d'élaborer I'enseignement des concepts à partir des problèmes pratiques qui leur ont donné naissance ou auxquels ils s'appliquent.
Un exemple dans un domaine particulier, à un autre niveau,nous
est donné par les démonstrations.
Apprendre à démontrer nécessite une motivation. Imposer une démonstration dans un cas fini, là où une méthode exhaustive est plus efficace, c'est une erreur.
C'est précisément le choix de situations de plus en plus "complexes" qui introduira tout naturellement la nécessité d'une formalisation et d'une démonstration.

- Mais la meilleure de toutes les motivations est celle de "jeu".
Il est difficile de distinguer un "jeu" d'un "travail". La même activité
peut en effet être considérée comme un jeu par certains, et comme un
travail par d'autres. La différence tient sans doute au climat plus ou
moins grand de liberté que se donne l'individu au cours de cette
activité.

Plusieurs remarques apparaissent :

a) Il ne faut pas confondre "imposer un jeu avec ses règles" et
"laisser libre de créer ou modifier des jeux".

b) Un jeu est d'autant plus captivant qu'il est riche, riche en
stratégies possibles, riche quant aux curiosités qu'il éveille.

c) L'étape ultime du jeu est celle où l'individu joue contre
lui-même et contre ses propres pensées.
d) La notion de jeu ne concerne pas tel ou tel âge bien déterminé ;
elle est liée à un sentiment d'indépendance à l'égard du temps.
Un mathématicien de talent conclut l'introduction d'un de ses
ouvrages de haut niveau par la citation :
 "Tout cela, dit le Sphynx, pour amuser Zeus".
Pourquoi privons-nous nos élèves de ces sourires ? Ce ne
sont pas les mathématiques qui ont un aspect sévère, ce sont les
individus qui font rejaillir leur sévérité sur ce qu'ils enseignent.

Quoi qu'il en soit, chaque fois que la motivation est insuffisante.
seules des contraintes impératives pan'iennent à mobiliser artificie--
lement l'élève, pour un résultat combien éphémère. 50% de tâche
pédagogique doit être consacrée avant tout à créer les bonnes motivations.

2) Niveaux d'approche

a) Enrichir les expériences
Une théorie,un modèle,un concept seront d'autant mieux
"compris" qu'ils s"appuieront sur des expériences nombreuses et
variées. Parmi celles-ci, les contre-exempies sont encore plus significatifs que les exemples.
Faute d'avoir enrichi cette expérience, nous obtenons des élèves
qui,bien que connaissant le fonctionnement formel d'une théorie,
sont incapables de l'interpréter, de mettre des idées derrière les écritures.

b) Distinguer des niveaux de formalisation
   Là encore, il est faux de croire que ces niveaux dépendent de l'âge des élèves.La compréhension de cette formalisation dépend essentiellement de l'expérience. plus les expériences seront riches et variées, plus le niveau de modélisation pourra s'élever. Un modèle de modèle à un niveau donné ne peut être compris que si l'interprétation au niveau inférieur est suffisamment familière.

c) Diversifier les langages
   Plus les langages seront nombreux, plus les trasferts imposeront l'idée d'interpréter un langage dans un autre, et permettront de préciser le concept, et de distinguer le niveau "formel" du niveau "sémantique".
Le "langages" étant pris au sens large et désignant aussi bien des langues élaborées, des moyens d'expression "imagés", "figuratifs" ,des objets rééls, des matériels divers, films animés,...
 L'expérience montre que , même avec des adultes, l'enseignement regagne en efficacité le temps consacré à ces divers niveaux d'approche.
   d) Les Spirales
       L'analyse d'un problème n'est jamais achevée en profondeur. Tel langage adapté à un niveau d'expériences doit être à son tour modélisé plus tard.
Au lieu de mettre une notion au programme d'une classe et la considérer comme définitivement acquise pour les classes ultérieures, il serait bon de reprendre la même notion à des niveaux d'analyse, de formalisation plus poussés.
Cette méthode d'enseignement en spirale a l'avantage de remettre en mémoire les notions , de remettre en cause des procédés des techniques particulières, pour les améliorer, les traiter à l'aide de langages plus généraux et redonner ainsi au savoir une certaine modestie

L'argument de lassitude qu'on oppose à une telle méthode n'est
pas valable puisque langages et objectifs ne sont pas les mêmes à chaque niveau.


3) Voies axiomatiques
Il semble qu'il y ait là une confusion entre trois objectifs :
- apprendre à axiomatiser (c'est-à-dire modéliser) est une chose ;
- apprendre une axiomatique particulière dénuée d'interprétation
en est une autre ;
- enfin faire "comprendre" un système à l'aide d'une description
axiomatisée est encore autre chose.

Le premier appartient aux objectifs fondamentaux et nécessite une
grande variété d'exemples et contre-exemples.
Le deuxième est un objectif particulier : se familiariser avec le
fonctionnement d'un outil (ce qui ne signifie pas qu'on saura recon-
naître les situations auxquelles il s'adapte).
Le troisième est une erreur pédagogique monumentale.

Autant les deux premiers objectifs sont fondamentaux, autant le
troisième est illusoire et dangereux.

4) Construction des connaissances par récurrence

Un contre-exemple fera mieux comprendre ce principe :
A une époque donnée on fait apprendre une formule (par exemple
(a+b)² ).
Un an plus tard on fait apprendre (a + b)3.
Plus tard encore on passe aux autres puissances (a + b)exposant n .
Que d'efforts de mémoire évités, que de temps gagné si l'on avait
présenté d'emblée la suite des puissances, et la récurrence permettant de reconstruire ces formules, présentation sous de multiples aspects
permettant de relier les méthodes.
Lorsqu'on veut faire comprendre ce qu'est une échelle à un enfant
qui n'en a jamais vu, on ne lui présente pas une échelle à un barreau,
puis à deux barreaux, etc., sous prétexte de lui simplifier la tâche.* Plus le nombre de termes de la suite est grand, mieux l'élève comprendra la récurrence. Il en est ainsi des connaissances organisées de telle façon.

5 ) Liaisons interdisciplinaires

Pour des raisons de motivation et d'éducation, il est souhaitable de
puiser dans les domaines les plus variés les systèmes que l'on cherche à modéliser. Cette idée, conçue ici comme méthode pédagogique, devrait certainement figurer parmi les objectifs d'un système général
d'éducation.

6) Synthèses et ouvertures
  Autant les exigences de rigueur (d'automaticité) entraînent précautions et raffinements dans les détails, autant il est dangereux de se noyer dans les détails. A chaque instant les problèmes doivent pouvoir être replacés dans un cadre plus général, c'est à dire donner naissance à de nouveaux problèmes. A cette fin ,le souci de synthèse doit équilibrer le souci d'analyse ( pour autant que ces deux mots aient un sens précis qu'il serait bon d'analyser..!)


article publié en 1972...
...quelques références de jeux, de films réalisés par Marcel Dumont pour améliorer l'enseignement des mathématiques dès les années 1972..dans la dernière partie de cet article ,tellement d'actualité..les "serious gaming" envahissent les formations des grandes entreprises..à suivre