Conséquence n° 2 de l'A.B.I.S

Parité et hyperparité des coefficiients binomiaux: exemple de
ce que peut cacher ou dévoiler un moyen d'expression.

1.-Rappel: cf fiches "questionnaire", "rectangle chinois", algorithme du crabe",...
interprétation usuelle: nombre de sous-ensembles à 3 éléments dans un ensemble se 5 éléments distincts.
code usuel: C(3,5)        code Bourbakiste    (5,3)  verticalement!

autres ibterprétations; dans un réseau à 2 dimensions ,nombre de chemins pour aller de l'origine à un point de ccordonnées a et b  , a et b étant 2 naturels. (ou bien facteur permettant de passer d'une séquence factorielle à une autre de même longueur.
code urilisé ici: C(a,b)    dans l'exemple ci-dessus  C(3,2)

Formule évidente en regardant l'hypercube suspendu à un niveau de larbre 'dichotomique 'fiche "questionnaires.")
   C(a;b) = (a+b) / ( a!.b!)        dans l'exemple ci-dessus   C(3,2) = 5! / (3!.2!) = 10
cf la fiche "questionnaire" qui permet de visualiser la construction faciele de la formule sut un hypercube.

Si les paramètres a et b  sont codés en base dix ,on ne voit rien. Si on les code en base deux (en supprimant les zéros qui aveuglent, code CLE ou ABIS, alors un monde nouveau se dévoile.


2.- Parité des coefficients binomiaux/.
cf  fiche contenant le tableau fractal
On utilise le Rectangle Chinois (rextangle des cumuls) et on code 1 les coefficients pairs et 0 les coefficients impairs. On obtient ainsu un tableau fractal dont les récursvités sur les crrés et sous carrés ne se traduisent pas sur les paramètres codés en base dix. Mais si les paramètres sont codés en base deux alors les coordonnées des carrés montrent clairement l'organisation du tableau d'où le test:
si les 2 mots binaires a et b ont une intersection vide, alors C(a,b) est impair.
si leur intersection est non-vide ,cad qu'ils ont au moins une puissance de 2 commine alors le coefficient est pair.
Une démonstration géométrique à partir du tableau est facile

exemples  a = 13 = (0,2,3) = (1+4+8)            C(13,20)  est pair car les 2 mots a et b ont la
               b = 20 = (2,4) = (4+16)                puissance 4 en commun

               a = 11 = (0,1,3) = '1+2+8)             C(11,36) est impar car les 2 mots binaires
              b = 36 = (2,5) = (4+32)                  ont une intersectio vide

Problème: comment voulez-vous traduire ce critère si a et b sont écrite en base dix?

(j'étais très fie(j'r d'avoir découvert ce test, à partir de l'observation géométrique du tableau et du codage binaire des coefficients.!       mais pourquoi uel critère?     
C'est l'analyse de m'hyperparité qui qui a donné l  l'explication.
On n'a jamais fini de comprendre!


3-Hyperparité des coefficients binomiaux.

a) algo du crabe et les factorielles
 Problème :nous cherchons à connaitre le nombre de  de facteurs prmiers identiques dans la factorisation primaire d'une factorielle.
l'algorithme du crabe consiste à construire un arbre exponentiel , ni par la racine ,ni par les sommets, mais par le coté, d'où son nom. Ce qui revienf en fait à faire tourner les roulettes d'un compteir habituel.
exemple Base 5
on a :  0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 2 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 2 0000 1...etc
La factorielle est un produit; Ul suffit donc de cumuler les esposants pour connaitre le nombre de facteurs 5 dans la factorielle.. Or pour passer d'une puissance factorielle de 5  à la puissance suivante on répète 5 fois la séquence précédente et on ajoute 1
 
Mais l'analyse exige d'abord celle des facrorielles d'où cf fiche "hyperparité, factorielles et coefficients binomiaux".

résumé :cf  algorithme du crabe en base 2   ou arbre dichotomique.
calcul Mersennien :   M5  = M4 + M4 + 1   cad   31 = 15 + 15 + 1

b)Factorielles
        L'algorithme du crabe va nous fournir un moyen commode déterminer les termes binaires d'une factorielle.  En effet, une factorielle est le prosuit d'une séquence de nombres consécutis: ce produit se traduit donc en Code CLE par le cumul des exposants.  
Exemples:
5 : on atteint 5 dans l'algo  par la séquence    0  1  0  2  0
Fact5 contuent donc  1+2 cad 3 facteurs 2 dans son produit factoriel
13:  on atteint 13 par la séquence   0  1  0  2  0  1  0  3  0  1  0  2  0
donc Fact 13 contient  1+2+1+3+1+2  cad 10 facteurs 2
Remarque:on observe alors ue que le nombre de 2 dans la facrotielle dd'une puissance de2 est le Mersenne associé au code CLE
exemple
exemples Facr 4       4 = (2)   nombre de facteurs; 2  ; 0 1 0 2 donc 1 + 2 = M2
                  fact   8       8 = '3)                                             0,1,0,2,0,1,0,3    donc   1 + 2 + 1 + 3 = M3
                  Fact 16      16 = (4)  donc nombre de factaurs 2  : =  M4  = 15 = (0,1,2,3) = 1+2+4+8
Appliquons cette loi à une somme de factorielles et nous obtenons une loi qui s'applique à n'importe quel entier.. exemple (0,3,5) la factprielle de ce nombre 41 n'est pas la somme des factorielles . Mais le nombre de facteurs 2 , lui se cumule . Nombre de facteurs 2 dans Fact(0,3,5) = M3 +  M5 = 7+31=38
Cette construction récursive des Mersennes   Mn+1 = 2 * Mn + 1 va jouer un role fondamental dans le calcul des coefficients binomiaux...


c analyse des coefficients binomiaux
 a et b sont les coordonnées  du point du réseau correspondant au coefficient
C(a,b) = Facr (a+b) / Fact (a)*Fact(b)  .
si les mots binaires a et b sont disjoints, cad ont une intersection vide, alors le nombre de facteurs 2  au numérateur est le même qu'au dénominateurs , doc ces facteurs disparaissent dans la division.Le coeffcient  est impair d'ou l'explication du test de parité  ou plutot d'imparité.

Mais si l'intersection contient des puissances communes , alors la loi de réduction Va jouer  
(3)+(3) = (4)        (4)+(4) = (5)   .....etc
exemple:  a = (0,3,5) = 41    et  b = (1,3,6)  alors  a+b =' (0,3,5,1,3,6) = (0,1,4,5,6)
Le nombre de faxteurs 2 au numérateurs sera  M1+M4+M5+M6
tandis qu'au dénominateur nous aurons  M3+M5+M1+M3+M6.
Il y a donc 1 facteur 2 de plus au numérateur   car M4 = M3+M3+ 1
donc  C(41,74) est divisible par 2.
Mais attention : Les réductions peuvent se propager à l'extérieur de l'intersection/
exemple  a = (0,3,5)   et b = (3,4,6)     donc a+b = (0,3,3,4,5,6) = )0,7) 
Il y a ici 4 réductions donc 4 facteurs 2 de plus au numérateur
Doc  C( 41,88) est divisible par 16.

Conclusion: Comment voulez vous traduire tout ceci en base dix  ???